Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Entry posted by admin August 5, 2019

2,076 views

Знакопеременным числовым рядом

называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.

Знакочередующийся ряд

Числовой ряд вида $u_{1}-u_2+u_3-u_4+...+(-1)^{n-1}u_n+...,$ где $u_n -$ это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Теорема Лейбница(Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда
$u_{1}-u_2+u_3-u_4+...+(-1)^{n-1}u_n+...(*)$
Выполняются два условия:

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине $u_{1} > u_2 > ...> u_n > ...$
Члены ряда стремятся к нулю $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

то ряд $(*)$ сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: $S_{2n}=(u_{1}-u_2)+(u_3-u_4)+...+(u_{2n-1}-u_{2n})$ .

По условию $u_{1} > u_2 > ...> u_{2n-1} > u_{2n},$ следовательно все разности в скобках положительны, значит, $S_{2n}$ увеличивается с возрастанием $n$ и $S_{2n}>0$ при любом $n.$

С другой стороны, если переписать так $S_{2n}=u_{1}-[(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+...+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}].$ Выражение в квадратных скобках положительно и $S_{2n}>0,$ поэтому $S_{2n}<u_1$ для любого $n.$ Таким образом, последовательность частичных сумм $S_{2n}$ ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный $\lim_{n \to \infty}S_{2n}=S.$ При этом $0<S_{2n}\leq u_1.$

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем $S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}.$ Перейдём в последнем равенстве к пределу при $n \to \infty:\lim_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n \to \infty}S_{2n}+\lim_{n \to \infty}u_{2n+1}=S+0=S.$ Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел $S,$ поэтому $\lim_{n \to \infty}S_{n}=S,$ следовательно данный ряд сходится.